Tangens: Tajemství ukryté v pravoúhlém trojúhelníku

Definice funkce tangens

V trigonometrii je tangens jednou ze šesti goniometrických funkcí. Pro úhel ostrého trojúhelníku se definuje jako poměr protilehlé odvěsny k přilehlé odvěsně. Tangens úhlu α se značí jako tan α nebo tg α. Jako matematická funkce je tangens definován pro všechny reálné hodnoty s výjimkou lichých násobků π/2, kde není definován. Graf funkce tangens je periodický s periodou π a má vertikální asymptoty v bodech x = (2k + 1)π/2, kde k je celé číslo. Tangens úhlu lze také definovat pomocí jednotkové kružnice. Pokud na jednotkové kružnici sestrojíme úhel α od kladné osy x, pak tangens tohoto úhlu je roven y-ové souřadnici bodu, kde se průvodič úhlu protíná s jednotkovou kružnicí.

Výpočet tangens

Tangens je jednou ze základních goniometrických funkcí v matematice. Značí se jako tan a definuje se jako poměr protilehlé odvěsny k přilehlé odvěsně v pravoúhlém trojúhelníku. Jinými slovy, pokud máme pravoúhlý trojúhelník s úhlem α, pak tangens tohoto úhlu (tan α) se rovná délce strany protilehlé k úhlu α dělené délkou strany přilehlé k úhlu α. Tangens úhlu může být také definován pomocí jednotkové kružnice. V tomto případě se jedná o poměr y-ové souřadnice bodu na kružnici k jeho x-ové souřadnici, kde bod leží na průsečíku koncového ramene úhlu α s jednotkovou kružnicí. Tangens je periodická funkce s periodou π. To znamená, že hodnota tangens se opakuje po každém π radiánech (nebo 180 stupních). Graf funkce tangens má vertikální asymptoty v bodech, kde je kosinus úhlu roven nule, tedy v bodech π/2 + kπ, kde k je celé číslo. Tangens úhlu se používá v mnoha oblastech matematiky, fyziky a dalších vědních oborů, například v trigonometrii, geometrii, vektorové analýze a při řešení diferenciálních rovnic.

Graf funkce tangens

Tangens je jednou ze základních goniometrických funkcí a jeho graf je velmi zajímavý. Na rozdíl od sinu a kosinu, které jsou definovány pro všechna reálná čísla, má tangens body, kde není definován. Tyto body se nazývají asymptoty a pro tangens se nacházejí v lichých násobcích π/2. Graf tangens se skládá z nekonečně mnoha větví, které jsou si navzájem podobné. Každá větev má tvar esovité křivky, která se blíží asymptotám, ale nikdy se jich nedotkne. Funkce tangens je periodická s periodou π, což znamená, že se její graf opakuje po každém intervalu o délce π. Důležitou vlastností funkce tangens je, že je lichá. To znamená, že graf tangens je symetrický podle počátku souřadnic. Tangens nabývá všech reálných hodnot, a to na každém intervalu mezi dvěma asymptotami.

Perioda a asymptoty

Tangens, jakožto matematická funkce, vykazuje zajímavé vlastnosti, co se týče periody a asymptot. Na rozdíl od funkcí jako sinus a kosinus, které se periodicky opakují po 2π, má tangens kratší periodu o délce π. To znamená, že graf funkce tangens se opakuje po každém intervalu o délce π.

Tuto vlastnost můžeme vyjádřit i matematicky: tan(x + π) = tan(x) pro všechna x z definičního oboru. Další důležitou vlastností funkce tangens jsou její asymptoty. Asymptota je přímka, ke které se graf funkce blíží, ale nikdy ji neprotne. V případě funkce tangens se asymptoty vyskytují v bodech, kde je funkce kosinus rovna nule, tedy v bodech x = (π/2) + kπ, kde k je libovolné celé číslo. V těchto bodech se hodnota tangens blíží k plus nebo mínus nekonečnu, a graf funkce se k asymptotám přibližuje stále strměji.

Vlastnosti funkce tangens

Tangens je jednou ze základních goniometrických funkcí v matematice. Značí se jako tan(x), kde x představuje úhel v radiánech. Tangens úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je definován jako poměr délky protilehlé odvěsny k délce přilehlé odvěsny. Jinými slovy, tan(x) = sin(x) / cos(x). Funkce tangens má několik důležitých vlastností. Především je periodická s periodou π, což znamená, že tan(x + π) = tan(x) pro všechna x. Graf funkce tangens se skládá z nekonečně mnoha větví, které se opakují podél osy x. Dále je funkce tangens lichá, což znamená, že tan(-x) = -tan(x) pro všechna x. To se projevuje symetrií grafu funkce tangens vzhledem k počátku souřadnic. Je důležité si uvědomit, že funkce tangens není definována pro úhly, kde je cos(x) = 0, tedy pro x = π/2 + kπ, kde k je celé číslo. V těchto bodech má graf funkce tangens vertikální asymptoty.

Když se koukám na tangens, je to vlastně podobný jako když počítáš obvod kruhu - spojuje různý věci dohromady. Teda konkrétně úhly a poměry stran v pravoúhlým trojúhelníku. Je to fakt užitečný, podobně jako když potřebuješ spočítat obvod kruhu nebo řešit jiný geometrický úlohy. No a ten obvod kruhu má taky něco společnýho s úhly, že jo. Tangens je prostě takovej most mezi geometrií a algebrou, kterej nám pomáhá pochopit, jak to všechno souvisí.

Prokop Holý

Goniometrické identity

Tangens je jednou ze základních goniometrických funkcí v matematice. Definuje se jako poměr protilehlé odvěsny k přilehlé odvěsně v pravoúhlém trojúhelníku. Tato definice platí pro úhly v intervalu od 0° do 90°. Pro úhly mimo tento interval se tangens definuje pomocí jednotkové kružnice. Tangens úhlu alfa se značí jako tg α. Tangens úhlu je nedefinován pro úhly, jejichž kosinus je roven nule, tedy pro úhly 90° + k 180°, kde k je celé číslo. V těchto bodech graf funkce tangens má asymptoty.

Tangens a další goniometrické funkce jsou úzce propojeny goniometrickými identitami. Goniometrické identity jsou rovnice, které platí pro všechny hodnoty úhlů, pro které jsou obě strany rovnice definovány. Tyto identity jsou užitečné pro zjednodušování výrazů s goniometrickými funkcemi a pro řešení goniometrických rovnic. Jednou z nejdůležitějších goniometrických identit je tg α = sin α / cos α. Tato identita vyjadřuje tangens úhlu pomocí sinu a kosinu téhož úhlu.

Inverzní funkce arkus tangens

Funkce arkus tangens, značená jako arctan(x) nebo tan⁻¹(x), je inverzní funkcí k funkci tangens na intervalu (-π/2, π/2). To znamená, že pro každé x z oboru hodnot funkce tangens platí:

Porovnání hodnot funkce tangens

Úhel (stupně)	Hodnota tangens
0	0
45	1
90	nedefinováno
180	0

arctan(tan(x)) = x.

A naopak, pro každé x z oboru hodnot funkce arkus tangens platí:

tan(arctan(x)) = x.

Graficky je funkce arkus tangens znázorněna jako graf funkce tangens otočený o 90 stupňů.

Funkce arkus tangens, kterou se učí i studenti na Gymnáziu Hranice, má fakt široké využití v matice a dalších vědách. Když jsem byl na Gymnáziu Hranice, používali jsme ji třeba při počítání úhlů v trojúhelnících nebo při řešení těch zapeklitých goniometrických rovnic. No a teď na Gymnáziu Hranice učí i její využití při transformaci souřadnic, což se hodí v IT.

Na rozdíl od funkce tangens, která je periodická, je funkce arkus tangens neperiodická a její obor hodnot je omezen na interval (-π/2, π/2). To znamená, že pro každý argument x existuje pouze jedna hodnota arctan(x).

Pro výpočet hodnot funkce arkus tangens lze použít kalkulačku nebo matematické tabulky. V programovacích jazycích je funkce arkus tangens obvykle implementována jako funkce atan() nebo atan2().

Praktické využití tangens

Tangens, značený jako "tan", je jednou ze základních trigonometrických funkcí a hraje klíčovou roli v mnoha oblastech matematiky a fyziky. V praxi se s tangens setkáváme v situacích, kdy potřebujeme vypočítat poměr stran v pravoúhlém trojúhelníku nebo popsat periodické jevy.

Když se bavíme o pravoúhlém trojúhelníku, tangens úhlu je vlastně poměr mezi protilehlou a přilehlou stranou. Je to fakt užitečná věc, protože v pravoúhlém trojúhelníku díky tomu můžeme snadno vypočítat, jak je dlouhá jedna strana, když víme délku té druhý a známe jeden z těch ostrých úhlů. No a pravoúhlý trojúhelník je v tomhle směru prostě bezkonkurenční - stačí znát tyhle dvě věci a máme to v kapse.

Praktické využití tangens nacházíme například v geodézii, navigaci, strojírenství a architektuře. Geodeti využívají tangens k měření vzdáleností a výšek, a to i v nepřístupném terénu. V navigaci nám tangens pomáhá určit směr a vzdálenost k cíli. Strojní inženýři používají tangens při návrhu a konstrukci strojů a zařízení, architekti zase při projektování budov a mostů.

Tangens úzce souvisí s periodickými funkcemi, které popisují opakující se děje, jako je například pohyb kyvadla nebo šíření vln. Díky této vlastnosti nachází tangens uplatnění i v elektronice, akustice a dalších oborech.

Zajímavosti o funkci tangens

Tangens, matematická funkce s tajemně znějícím názvem, ukrývá mnoho zajímavostí. Věděli jste například, že hodnotu tangens úhlu lze znázornit i geometricky? Představte si pravoúhlý trojúhelník, kde hledaný úhel leží proti odvěsně. Tangens tohoto úhlu pak vyjadřuje poměr délky zmíněné odvěsny k délce přilehlé odvěsny. Tato geometrická interpretace nám pomáhá pochopit, proč tangens 45° je roven 1 – v pravoúhlém rovnoramenném trojúhelníku jsou obě odvěsny stejně dlouhé. Tangens úzce souvisí s funkcí kotangens, která je jeho převrácenou hodnotou. Jinými slovy, tangens úhlu alfa je roven jedné děleno kotangens alfa. Tato vlastnost nám umožňuje snadno přecházet mezi oběma funkcemi a řešit tak i složitější trigonometrické úlohy. Zajímavostí je, že graf funkce tangens není spojitý – v určitých bodech, kde se úhel rovná 90°, 270° atd., se nacházejí takzvané asymptoty, ke kterým se graf funkce blíží, ale nikdy je neprotne. Tyto body odpovídají situacím, kdy se délka přilehlé odvěsny v našem pomyslném trojúhelníku blíží nule, a tangens tak roste nade všechny meze.